實用算法 ( 基礎算法 - 遞推法 -01)

有一類試題，每相鄰兩項數之間的變化有一定的規律性，我們可將這種規律歸納成如下簡捷的遞推關系式：

Fn=g(Fn-1)

這就在數的序列中，建立起后項和前項之間的關系，然后從初始條件 ( 或最終結果 ) 入手，一步步地按遞推關系遞推，直至求出最終結果 ( 或初始值 ) 。很多程序就是按這樣的方法逐步求解的。如果對一個試題，我們要是能找到后一項與前一項的關系并清楚其起始條件 ( 最終結果 ) ，問題就好解決，讓計算機一步步算就是了，讓高速的計算機做這種重復運算，可真正起到 “ 物盡其用 ” 的效果。

遞推分倒推法和順推法兩種形式。一般分析思路：

if 求解條件 F1

then begin{ 倒推 }

由題意 ( 或遞推關系 ) 確定最終結果 Fa ；

求出倒推關系式 Fi-1=g'(Fi);

i=n;{ 從最終結果 Fn 出發進行倒推 }

while 當前結果 Fi 非初始值 F1 do 由 Fi-1=g(F1) 倒推前項；

輸出倒推結果 F1 和倒推過程；

end {then}

else begin{ 順推 }

由題意 ( 或順推關系 ) 確定初始值 F1( 邊界條件 ) ；

求出順推關系式 F1=g(Fi-1);

i=1;{ 由邊界條件 F1 出發進行順推 }

while 當前結果 Fi 非最終結果 Fn do 由 Fi=g(Fi-1) 順推后項；

輸出順推結果 Fn 和順推過程；

end; {else}

一、倒推法

所謂倒推法，就是在不知初始值的情況下，經某種遞推關系而獲知問題的解或目標，再倒推過來，推知它的初始條件。因為這類問題的運算過程是一一映射的，故可分析得其遞推公式。然后再從這個解或目標出發，采用倒推手段，一步步地倒推到這個問題的初始陳述。

下面舉例說明。

[ 例 1] 貯油點

一輛重型卡車欲穿過 1000 公里的沙漠，卡車耗油為 1 升 / 公里，卡車總載油能力為 500 公升。顯然卡車一次是過不了沙漠的。因此司機必須設法在沿途建立幾個儲油點，使卡車能順利穿越沙漠，試問司機如何建立這些儲油點？每一儲油點應存多少油，才能使卡車以消耗最少油的代價通過沙漠？

算法分析：

編程計算及打印建立的貯油點序號，各貯油點距沙漠邊沿出發的距離以及存油量。

No. Distance(k.m.) oil(litre)

1 X X X X

2 X X X X

3 X X X X

........ ......

設 dis[i] 為第 i 個貯油點至終點 (i=0) 的距離；

oil[i] 為第 i 個貯油點的存貯油量；

我們可以用倒推法來解決這個問題。從終點向始點倒推，逐一求出每個貯油點的位置及存油量。

下圖表示倒推時的返回點：

從貯油點 i 向貯油點 i+1 倒推的策略是，卡車在點 i 和點 i+1 間往返若干次。卡車每次返回 i+1 處時正好耗盡 500 公升汽油，而每次從 i+1 出發時又必須裝足 500 公升汽油。兩點之間的距離必須滿足在耗油最少的條件下使 i 點貯足 i*500 分升汽油的要求 (0<=i<=n-1) 。具體地講，第一個貯油點 i=1 應距終點 i=0 處 500km 且在該處貯藏 500 公升汽油，這樣才能保證卡車能由 i=1 處到達終點 i=0 處，這就是說

dis[1]=500 oil[1]=500;

為了在 i=1 處貯藏 500 公升汽油，卡車至少從 i=2 處開兩趟滿載油的車至 i=1 處。所以 i=2 處至少貯有 2*500 公升汽油，即 oil[2]=500*2=1000 。另外，再加上從 i=1 返回至 i=2 處的一趟空載，合計往返 3 次。三次往返路程的耗油量按最省要求只能為 500 公升。即 d12=500/3km

dis[2]=dis[1]+d12=dis[1]+500/3

為了在 i=2 處貯存 1000 公升汽油，卡車至少從 i=3 處開三趟滿載油的車至 i=2 處。報以 i=3 處至少貯有 3*500 公升汽油，即 oil[3]=500*3=1500 。加上 i=2 至 i=3 處的二趟返程空車，合計 5 次。路途耗油量也應為 500 公升，即 d23=500/5,

dis[3]=dis[2]+d23=dis[2]+500/5;

依此類推，為了在 i=k 處貯藏 k*500 公升汽油，卡車至少從 i=k+1 處開 k 趟滿載車至 i=k 處，即

oil[k+1]=[k+1]*500=oil[k]+500 ，加上從 i=k 處返回 i=k+1 的 k-1 趟返程空間，合計 2k-1 次。這 2k-1 次總耗油量按最省要求為 500 公升，即

dk,k+1=500/(2k-1)

dis[k+1]=dis[k]+dk,k+1

=dis[k]+500/(2k-1);

最后， i=n 至始點的距離為 1000-dis[n],oil[n]=500*n 。為了在 i=n 處取得 n*500 公升汽油，卡車至少從始點開 n+1 次滿載車至 i=n ，加上從 i=n 返回始點的 n 趟返程空車，合計 2n+1 次， 2n+1 趟的總耗油量應正好為 (1000-dis[n])*(2n+1) ，即始點藏油為 oil[n]+(1000-dis[n])*(2n+1) 。

下面為程序代碼：

program oil_lib;

var

k:integer; { 貯油點位置序號 }

d, { 累計終點至當前貯油點的距離 }

d1:real;{i=n 至始點的距離 }

oil,dis:array[1..10] of real;

i:integer; { 輔助變量 }

begin

writeln('NO.','distance(k.m)':30,'oil(1.)':80);

k:=1;

d:=500; { 從 i=1 處開始向始點倒推 }

dis[1]:=500;

oil[1]:=500;

repeat

k:=k+1;

d:=d+500/(2*k-1);

dis[k]:=d;

oil[k]:=oil[k-1]+500;

until d>=1000;

dis[k]:=1000; { 置始點至終點的距離值 }

d1:=1000-dis[k-1]; { 求 i=n 處至始點的距離 }

oil[k]:=d1*(2*k+1)+oil[k-1]; { 求始點藏油量 }

for i:=0 to k do { 由始點開始，逐一打印始點至當前貯油點的距離和藏油量 }

writeln(i,1000-dis[k-i]:30,oil[k-i]:80);

end. {main}

轉換為 C 語言程序如下：

#include<stdio.h>

void main()

{

int k;/* 貯油點位置序號 */

float d,d1; /*d: 累計終點至當前貯油點的距離 ,d1:i=n 至始點的距離 */

float oil[10],dis[10];

int i;

printf("NO. distance(k.m.)/toil(l.)/n");

k=1;

d=500; /* 從 i=1 處開始向始點倒推 */

dis[1]=500;

oil[1]=500;

do{

k=k+1;

d=d+500/(2*k-1);

dis[k]=d;

oil[k]=oil[k-1]+500;

}while(!(d>=1000));

dis[k]=1000; /* 置始點至終點的距離值 */

d1=1000-dis[k-1]; /* 求 i=n 處至始點的距離 */

oil[k]=d1*(2*k+1)+oil[k-1]; /* 求始點藏油量 */

for(i=0;i<k;i++) /* 由始點開始逐一打印始點至當前貯油點的距離和藏油量 */

printf("%d/t%f/t%f/t/n",i,1000-dis[k-i],oil[k-i]);

}

實用算法 ( 基礎算法 - 遞推法 -02)

順推法

倒推法的逆過程就是順推法，即由邊界條件出發，通過遞推關系式推出后項值，再由后項值按遞推關系式推出再后項值 ...... ，依次遞推，直至從問題初始陳述向前推進到這個問題的解為止。

實數數列：一個實數數列共有 N 項，已知

ai=(ai-1-ai+1)/2+d, (1<i<N)(N<60)

鍵盤輸入 N,d,a1,an,m, 輸出 am

輸入數據均不需判錯。

算法分析：

分析該題，對公式：

Ai=(Ai-1-Ai+1)/2+d (1<i<N) (n<60)

作一翻推敲，探討其數字變換規律。不然的話會無從下手。

令 X=A2 s2[i]=(pi,Qi,Ri) 表示 Ai=PiX+QiD+RiA1

我們可以根據

Ai=Ai-2-2Ai-1+2D

=PiX+QiD+RiA1

A(i-1)=( A(i-2)-A(i) )/2+d, 可以推出 A(i)=A(i-2)-2A(i-1)+2d

A(i)=A(i-2)-2A(i-1)+2d=P(i)X+Q(i)d+R(i)A(1)

所以 A(i-2)=P(i-2)X+Q(i-2)d+R(i-2)A(1)

A(i-1)=P(i-1)X+Q(i-1)d+R(i-1)A(1)

這樣就推出 PiX+QiD+RiA1=(Pi-2-2Pi-1)X+(Qi-2-2Qi-1+2)D+(Ri-2-2Ri-1)A1

推出公式

PiX+QiD+RiA1=(Pi-2-2Pi-1)X+(Qi-2-2Qi-1+2)D+(Ri-2-2Ri-1)A1

比較等號兩端 X,D 和 A1 的系數項，可得

Pi=Pi-2-2Pi-1

Qi=Qi-2-2Qi-1+2

Ri=Ri-2-2Ri-1

加上兩個邊界條件

P1=0 Q1=0 R1=1 (A1=A1)

P2=1 Q2=0 R2=0 (A2=A2)

根據 Pi 、 Qi 、 Ri 的遞推式，可以計算出

S2[1]=(0,0,1);

S2[3]=(-2,2,1);

S2[4]=(5,-2,-2);

S2[5]=(-12,8,5);

...................

S2[i]=(Pi,Qi,Ri);

...................

S2[N]=(PN,QN,RN);

有了上述基礎， AM 便不難求得。有兩種方法：

1 、由于 AN 、 A1 和 PN 、 QN 、 RN 已知，因此可以先根據公式：

A2=AN-QND-RNA1/PN

求出 A2 。然后將 A2 代入公式

A3=A1-2A2+2D

求出 A3 。然后將 A3 代入公式

A4=A2-2A3+2D

求出 A4 。然后將 A4 代入公式

............................

求出 Ai-1 。然后將 Ai-1 代入公式

Ai=Ai-2-2Ai-1+2D

求出 Ai 。依此類推，直至遞推至 AM 為止。

上述算法的缺陷是由于 A2 是兩數相除的結果，而除數 PN 遞增，因此精度誤差在所難免，以后的遞推過程又不斷地將誤差擴大，以至當 M 超過 40 時，求出的 AM 明顯徧離正確值。顯然這種方法簡單但不可靠。

2 、我們令 A2=A2,A3=X ，由 S3[i]=(Pi,Qi,Ri) 表示 Ai=PiX+QiD+RiA2 (i>=2) 可計算出：

S3[2]=(0,0,1)=S2[1];

S3[3]=(1,0,0)=S2[2];

S3[4]=(-2,2,1)=S2[3];

S3[5]=(5,-2-2)=S2[4];

......................

S3[i]=(..........)=S2[i-1];

.....................

S3[N]=(..........)=S2[N-1];

再令 A3=A3,A4=X, 由 S4[i]=(pi,Qi,Ri) 表示 Ai=PiX+QiD+RiA3 (i>=3) 可計算得出：

S4[3]=(0,0,1)=S3[2]=S2[1];

S4[4]=(1,0,0)=S3[3]=S2[2];

S4[5]=(-22,1)=S3[4]=S2[3];

..........................

S4[i]=(...........)=S3[i-1]=S2[i-2];

.......................

S4[N]=(...........)=S3[N-1]=S2[N-2];

依此類推，我們可以發現一個有趣的式子：

AN=PN-i+2*Ai+QN-i+2*D+RN-i+2*Ai-1, 即

Ai=(AN-QN-i+2*D-RN-i+2*Ai-1)/PN-i+2

我們從已知量 A1 和 AN 出發，依據上述公式順序遞推 A2 、 A3 、 ... 、 AM. 由于 PN-i+2 遞減，因此最后得出的 AM 要比第一種算法趨于精確。

程序代碼如下：

program ND1P4;

const

maxn=60;

var

n,m,i:integer;

d:real;

list :array[1..maxn] of real;{list[i]------- 對應 ai}

s:array[1..maxn,1..3] of real;{s[i,1]-------- 對應 Pi}

{s[i,2]-------- 對應 Qi}

{s[i,3]-------- 對應 Ri}

procedure init;

begin

write('n m d =');

readln(n,m,d);{ 輸入項數，輸出項序號和常數 }

write('a1 a',n,'=');

readln(list[1],list[n]);{ 輸入 a1 和 an}

end;{init}

procedure solve;

begin

s[1,1]:=0;s[1,2]:=0;s[1,3]:=1; { 求遞推邊界 (P1,Q1,R1) 和 (P2,Q2,R2)}

s[2,1]:=1;s[2,2]:=0;s[2,3]:=0;{ 根據公式 Pi<---Pi-2 - 2*Pi-1}

{Qi<---Qi-2 - 2*Qi-1}

{Ri<---Ri-2 - 2*Ri-1}

{ 遞推 (P3,Q3,R3)......Pn,Qn,Rn)}

fori:=3 to n do

begin

s[i,1]:=s[i-2,1]-2*s[i-1,1];

s[i,2]:=s[i-2,2]-2*s[i-1,2]+2;

s[i,3]:=s[i-2,3]-2*s[i-1,3];

end; {for}

end;{solve}

procedure main;

begin

solve;{ 求 (P1,Q1,R1)..(Pn,Qn,Rn)}

{ 根據公式 Ai=(An-Qn-i+2 * d-Rn-i+2 * Ai-1)/Pn-i+2}

{ 遞推 A2..Am}

for i:=2 to m do

list[i]:=(list[n]-s[n-i+2,2]*d-s[n-i+2,3]*list[i-1])/s[n-i+2,1];

writeln('a',m,'=',list[m]:20:10);{ 輸出 Am}

end;{main}

begin

init;{ 輸入數據 }

main;{ 遞推和輸出 Am}

readln;

end.{main}