損失函數(shù)（loss function）用來(lái)表示當(dāng)前的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)不擬合的程度。這個(gè)損失函數(shù)有很多，但是一般使用均方誤差和交叉熵誤差等。

1.均方誤差（mean squared error）

先來(lái)看一下表達(dá)式：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

用于將 的求導(dǎo)結(jié)果變成 ， 是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出， 是訓(xùn)練數(shù)據(jù)的標(biāo)簽值，k表示數(shù)據(jù)的維度。

用python實(shí)現(xiàn)：

            
              def MSE(y, t):
    return 0.5 * np.sum((y - t)**2)
            
          

使用這個(gè)函數(shù)來(lái)具體計(jì)算以下：

            
              t = [0, 1, 0, 0]
y = [0.1, 0.05, 0.05, 0.8]
print(MSE(np.array(y), np.array(t)))


t = [0, 1, 0, 0]
y = [0.1, 0.8, 0.05, 0.05]
print(MSE(np.array(y), np.array(t)))
            
          

輸出結(jié)果為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

這里正確標(biāo)簽用one-hot編碼，y用softmax輸出表示。第一個(gè)例子的正確標(biāo)簽為2，對(duì)應(yīng)的概率為0.05，第二個(gè)例子對(duì)應(yīng)標(biāo)簽為0.8.可以發(fā)現(xiàn)第二個(gè)例子的損失函數(shù)的值更小，和訓(xùn)練數(shù)據(jù)更吻合。

2.交叉熵誤差（cross entropy error）

除了均方誤差之外，交叉熵誤差也常被用做損失函數(shù)。表達(dá)式為：

? ? ? ? ??

這里，log表示以e為底的自然對(duì)數(shù)（ )。 是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出， 是訓(xùn)練數(shù)據(jù)的標(biāo)簽值。并且， 中只有正確解標(biāo)簽的索引為1，其他均為0（one-hot）表示。因此這個(gè)式子實(shí)際上只計(jì)算對(duì)應(yīng)正確解標(biāo)簽的輸出的自然對(duì)數(shù)。

自然對(duì)數(shù)的圖像為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

所以輸出的概率越大對(duì)應(yīng)損失函數(shù)的值越低。

代碼實(shí)現(xiàn)交叉熵誤差：

            
              def cross_entropy_error(y, t):
    delta = 1e-7
    return -np.sum(t * np.log(y + delta))
            
          

這里設(shè)置delta，是因?yàn)楫?dāng)出現(xiàn)log(0)時(shí)，np.log(0)會(huì)變?yōu)樨?fù)無(wú)窮大。所以添加一個(gè)微小值可以防止負(fù)無(wú)窮大的發(fā)生。

還用剛剛那個(gè)例子：

            
              t = [0, 1, 0, 0]
y = [0.1, 0.05, 0.05, 0.8]
print(cross_entropy_error(np.array(y), np.array(t)))


t = [0, 1, 0, 0]
y = [0.1, 0.8, 0.05, 0.05]
print(cross_entropy_error(np.array(y), np.array(t)))
            
          

輸出為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

可以看出輸出值的概率越大損失值就越小。

?

• 交叉熵誤差的改進(jìn)：

前面介紹了損失函數(shù)的實(shí)現(xiàn)都是針對(duì)單個(gè)數(shù)據(jù)。如果要求所有訓(xùn)練數(shù)據(jù)的損失函數(shù)的總和，以交叉熵為例，可以寫成下面的式子：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

這里，假設(shè)數(shù)據(jù)有N個(gè)， 表示第n個(gè)數(shù)據(jù)的第k個(gè)元素的值。式子雖然看起來(lái)復(fù)雜，其實(shí)只是把求單個(gè)數(shù)據(jù)的損失函數(shù)擴(kuò)大到了N份數(shù)據(jù)，不過(guò)最后要除以N進(jìn)行正規(guī)化。

通過(guò)除以N，可以求單個(gè)數(shù)據(jù)的“平均損失函數(shù)”。通過(guò)這樣的平均化，可以獲得和訓(xùn)練數(shù)據(jù)的數(shù)量無(wú)關(guān)的統(tǒng)一指標(biāo)。比如，即使訓(xùn)練數(shù)據(jù)有100或1000個(gè)，也可以求得單個(gè)數(shù)據(jù)的平均損失函數(shù)。

所以對(duì)之前計(jì)算單個(gè)數(shù)據(jù)交叉熵進(jìn)行改進(jìn),可以同時(shí)處理單個(gè)數(shù)據(jù)和批量數(shù)據(jù):

            
              def cross_entropy_error(y, t):
    if y.ndim == 1:
        t = t.reshape(1, t.size)
        y = y.reshape(1, y.size)

    batch_size = y.shape[0]
    delta = 1e-7
    return -np.sum(t * np.log(y + delta)) / batch_size

            
          

但是，對(duì)于訓(xùn)練數(shù)據(jù)不是one-hot表示，而是普通標(biāo)簽表示怎么辦呢（例如一批處理5個(gè)數(shù)據(jù)的 標(biāo)簽值 為[2,5,7,3,4]）。輸出的數(shù)組是5行N列的，這里以手寫數(shù)字識(shí)別為例所以N=10。 所以我們計(jì)算的交叉熵誤差其實(shí)計(jì)算的是對(duì)應(yīng)每一行，其中某一列的對(duì)數(shù)之和 。例如標(biāo)簽值[2,5,7,3,4]，選擇的是 輸出結(jié)果 的第一行第2個(gè)，第二行第5個(gè)，第三行第7個(gè)...可能表達(dá)的不是很清楚，看下代碼實(shí)現(xiàn)應(yīng)該好多了。

            
              def cross_entropy_error(y, t):
    if y.ndim == 1:
        t = t.reshape(1, t.size)
        y = y.reshape(1, y.size)

    batch_size = y.shape[0]
    delta = 1e-7
    return -np.sum(np.log(y[np.arange(batch_size), t] + delta)) / batch_size
            
          

也就是說(shuō)，這里的標(biāo)簽值是作為輸出數(shù)組的索引，用于定位。

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?

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