母函數（Generating function）詳解


在數學中，某個序列的母函數是一種形式冪級數，其每一項的系數可以提供關于這個序列的信息。使用母函數解決問題的方法稱為母函數方法。


母函數可分為很多種，包括普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個類型的一個母函數。構造母函數的目的一般是為了解決某個特定的問題，因此選用何種母函數視乎序列本身的特性和問題的類型。


這里先給出兩句話，不懂的可以等看完這篇文章再回過頭來看：


"把組合問題的加法法則和冪級數的t的乘冪的相加對應起來"


"母函數的思想很簡單—就是把離散數列和冪級數一一對應起來，把離散數列間的相互結合關系對應成為冪級數間的運算關系，最后由冪級數形式來確定離散數列的構造. "


我們首先來看下這個多項式乘法：




















由此可以看出:


1. x的系數是a1,a2,…an的單個組合的全體。


2. x2的系數是a1,a2,…an的兩個組合的全體。


………


n. xn的系數是a1,a2,….an的n個組合的全體（只有1個）。


由此得到：


?


母函數的定義：






對于序列a0，a1，a2，…構造一函數：


稱函數G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函數


這里先給出2個例子，等會再結合題目分析：


第一種：


?


有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？?


考慮用母函數來接吻這個問題：


我們假設x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量，這樣：


1個1克的砝碼可以用函數1+x表示，


1個2克的砝碼可以用函數1+x2表示，


1個3克的砝碼可以用函數1+x3表示，


1個4克的砝碼可以用函數1+x4表示，


上面這四個式子懂嗎？


我們拿1+x2來說，前面已經說過，x表示砝碼，x的指數表示重量，即這里就是一個質量為2的砝碼，那么前面的1表示什么？1代表重量為2的砝碼數量為0個。（理解！）


不知道大家理解沒，我們這里結合前面那句話：


"把組合問題的加法法則和冪級數的t的乘冪的相加對應起來"


1+x2表示了兩種情況：1表示質量為2的砝碼取0個的情況，x2表示質量為2的砝碼取1個的情況。


這里說下各項系數的意義：


在x前面的系數a表示相應質量的砝碼取a個，而1就表示相應砝碼取0個，這里可不能簡單的認為相應砝碼取0個就該是0*x2(想下為何？結合數學式子)。


所以，前面說的那句話的意義大家可以理解了吧？


幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函數的乘積表示：


(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)


=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)


=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10?


從上面的函數知道：可稱出從1克到10克，系數便是方案數。（！！！經典！！！）


? ? 例如右端有2x5 項，即稱出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。


? ? 故稱出6克的方案有2，稱出10克的方案有1。


接著上面，接下來是第二種情況：


求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：


大家把這種情況和第一種比較有何區別？第一種每種是一個，而這里每種是無限的。




以展開后的x4為例，其系數為4，即4拆分成1、2、3之和的拆分數為4；


即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2


這里再引出兩個概念整數拆分和拆分數：


?


所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和（相當于把n個無區別的球放到n個無標志的盒子，盒子允許空，也允許放多于一個球）。


整數拆分成若干整數的和，辦法不一，不同拆分法的總數叫做拆分數。


現在以上面的第二種情況每種種類個數無限為例，給出模板：

    #include<iostream>

using namespace std;

 

const int _max = 121;

//c1是保存各項質量砝碼可以組合的數目

//c2是中間量，保存沒一次的情況

int c1[_max], c2[_max];  

int main()

{   //int n,i,j,k;

    int nNum;  //

    int i, j, k;

 

    while(cin >> nNum && nNum) 

    {

       for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①

       {

           c1[i] = 1;

           c2[i] = 0;

       }

       for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②

       {

 

           for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③

              for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④

              {

                  c2[j+k] += c1[j];

              }

           for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤

           {

              c1[j] = c2[j];

              c2[j] = 0;

           }

       }

       cout << c1[nNum] << endl;

    }

    return 0;

}

 
  

我們來解釋下上面標志的各個地方：


① 、首先對c1初始化，由第一個表達式(1+x+x2+..xn)初始化，把質量從0到n的所有砝碼都初始化為1.


?


② 、 i從2到n遍歷，這里i就是指第i個表達式，上面給出的第二種母函數關系式里，每一個括號括起來的就是一個表達式。


?


?


③、j 從0到n遍歷，這里j就是只一個表達式里第j個變量，比如在第二個表達式里：(1+x2+x4....)里，第j個就是x2*j.


?


③ k表示的是第j個指數，所以k每次增i（因為第i個表達式的增量是i）。


?


④ 、把c2的值賦給c1,而把c2初始化為0，因為c2每次是從一個表達式中開始的


?


咱們趕快趁熱打鐵，來幾道題目：


（相應題目解析均在相應的代碼里分析）


1. ?題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028


代碼：http://www.wutianqi.com/?p=587


這題大家看看簡單不？把上面的模板理解了，這題就是小Case!


?


看看這題：


2. ?題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398


代碼：http://www.wutianqi.com/?p=590


要說和前一題的區別，就只需要改2個地方。 在i遍歷表達式時（可以參考我的資料---《母函數詳解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍歷指數時把k+=i變成了k+=i*i; Ok,說來說去還是套模板~~~


?


3. ?題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085


代碼：http://www.wutianqi.com/?p=592


這題終于變化了一點，但是萬變不離其中。


大家好好分析下，結合代碼就會懂了。


?


4. ?題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171


代碼：http://www.wutianqi.com/?p=594


?


?


?


還有一些題目，大家有時間自己做做：


HDOJ：1709，1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152


附：


1.在維基百科里講到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數：


http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0


2．Matrix67大牛那有篇文章：什么是生成函數：


http://www.matrix67.com/blog/archives/120


3.大家可以看看杭電的ACM課件的母函數那篇，我這里的圖片以及一些內容都引至那。

母函數詳解