什么是最長遞增子序列呢?
問題描述如下:
?? 設L=<a1,a2,…,an>是n個不同的實數的序列，L的遞增子序列是這樣一個子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm& gt;，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。求最大的m值。
對于這個問題有以下幾種解決思路:
?? 1、把a1,a2,...,an排序，假設得到a'1,a'2,...,a'n，然后求a的a'的最長公共子串，這樣總的時間復雜度為o(nlg(n))+o(n^2)=o(n^2);
?? 2、動態規劃的思路：
??? 另設一輔助數組b,定義b[n]表示以a[n]結尾的最長遞增子序列的長度，則狀態轉移方程如下：b[k]=max(max(b[j]|a[j]<a[k],j<k)+1,1);
??? 這個狀態轉移方程解釋如下：在a[k]前面找到滿足a[j]<a[k]的最大b[j],然后把a[k]接在它的后面，可得到a[k]的最長遞增子序 列的長度，或者a[k]前面沒有比它小的a[j]，那么這時a[k]自成一序列，長度為1.最后整個數列的最長遞增子序列即為max(b[k]?? | 0<=k<=n-1);
??? 實現代碼如下：
????

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

?????? int i,j,n,a[100],b[100],max;

?????? while(cin>>n)

?????? {

????????????? for(i=0;i<n;i++)

???????????????????? cin>>a[i];

????????????? b[0]=1;// 初始化，以a[0]結尾的最長遞增子序列長度為1

????????????? for(i=1;i<n;i++)

????????????? {

???????????????????? b[i]=1;//b[i] 最小值為1

???????????????????? for(j=0;j<i;j++)

??????????????????????????? if(a[i]>a[j]&&b[j]+1>b[i])

?????????????????????????????????? b[i]=b[j]+1;

????????????? }

????????????? for(max=i=0;i<n;i++)// 求出整個數列的最長遞增子序列的長度

???????????????????? if(b[i]>max)

??????????????????????????? max=b[i];

????????????? cout<<max<<endl;

?????? }

?????? return 0;

}

??? 顯然，這種方法的時間復雜度仍為o(n^2);
?? 3、對第二種思路的改進：
??? 第二種思路在狀態轉移時的復雜度為o(n),即在找a[k]前面滿足a[j]<a[k]的最大b[j]時采用的是順序查找的方法，復雜度為o(n).
??? 設想如果能把順序查找改為折半查找，則狀態轉移時的復雜度為o(lg(n)),這個問題的總的復雜度就可以降到nlg(n).
??? 另定義一數組c,c中元素滿足c[b[k]]=a[k],解釋一下，即當遞增子序列的長度為b[k]時子序列的末尾元素為c[b[k]]=a[k].
??? 先給出這種思路的代碼，然后再對其做出解釋。
????

#include <iostream>

using namespace std;

int find(int *a,int len,int n)//若返回值為x,則a[x]>=n>a[x-1]

{

?????? int left=0,right=len,mid=(left+right)/2;

?????? while(left<=right)

?????? {

????????????? if(n>a[mid]) left=mid+1;

????????????? else if(n<a[mid]) right=mid-1;

????????????? else return mid;

????????????? mid=(left+right)/2;

?????? }

?????? return left;

}

void fill(int *a,int n)

{

?????? for(int i=0;i<=n;i++)

????????????? a[i]=1000;

}

int main()

{

?????? int max,i,j,n,a[100],b[100],c[100];

?????? while(cin>>n)

?????? {

????????????? fill(c,n+1);

????????????? for(i=0;i<n;i++)

???????????????????? cin>>a[i];

????????????? c[0]=-1;//??? …………………………………………1

????????????? c[1]=a[0];//??????? ……………………………………2

????????????? b[0]=1;//???? …………………………………………3

????????????? for(i=1;i<n;i++)//??????? ………………………………4

????????????? {

???????????????????? j=find(c,n+1,a[i]);//?? ……………………5

???????????????????? c[j]=a[i];// ………………………………6

???????????????????? b[i]=j;//……………………………………7

????????????? }

????????????? for(max=i=0;i<n;i++)//………………………………8

???????????????????? if(b[i]>max)

??????????????????????????? max=b[i];

????????????? cout<<max<<endl;

?????? }

?????? return 0;

}

??? 對于這段程序，我們可以用算法導論上的loop invariants來幫助理解.
????loop invariant: 1、每次循環結束后c都是單調遞增的。(這一性質決定了可以用二分查找）
?????????????????????????? 2、每次循環后，c[i]總是保存長度為i的遞增子序列的最末的元素，若長度為i的遞增子序

????????????????????????????????? 列有多個，剛保存末尾元素最小的那個.（這一性質決定是第3條性質成立的前提）
?????????????????????????? 3、每次循環完后，b[i]總是保存以a[i]結尾的最長遞增子序列。
????initialization:??? 1、進入循環之前，c[0]=-1,c[1]=a[0],c的其他元素均為1000,c是單調遞增的;
?????????????????????????? 2、進入循環之前，c[1]=a[0],保存了長度為1時的遞增序列的最末的元素，且此時長度為1

???????????????????????????????? 的遞增了序列只有一個，c[1]也是最小的;
?????????????????????????? 3、進入循環之前，b[0]=1，此時以a[0]結尾的最長遞增子序列的長度為1.
????maintenance:?? 1、若在第n次循環之前c是單調遞增的，則第n次循環時，c的值只在第6行發生變化，而由

??????????????????????????????? c進入循環前單調遞增及find函數的性質可知（見find的注釋),

???????????????????????????????? 此時c[j+1]>c[j]>=a[i]>c[j-1],所以把c[j]的值更新為a[i]后，c[j+1]>c[j]>c[j-1]的性質仍然成

??????????????????????????????? 立，即c仍然是單調遞增的；
?????????????????????????? 2、循環中，c的值只在第6行發生變化，由c[j]>=a[i]可知，c[j]更新為a[i]后，c[j]的值只會變

????????????????????????????????? 小不會變大，因為進入循環前c[j]的值是最小的，則循環中把c[j]更新為更小的a[i]，當

???????????????????????????????? 然此時c[j]的值仍是最小的;
???????????????? ????????? 3、循環中，b[i]的值在第7行發生了變化，因為有loop invariant的性質2，find函數返回值

??????????????????????????????? 為j有：c[j-1]<a[i]<=c[j],這說明c[j-1]是小于a[i]的，且以c[j-1]結尾的遞增子序列有最大的

?????????????????????????????? 長度，即為j-1,把a[i]接在c[j-1]后可得到以a[i]結尾的最長遞增子序列，長度為(j-1)+1=j;
????termination:?????? 循環完后，i=n-1,b[0],b[1],...,b[n-1]的值均已求出，即以a[0],a[1],...,a[n-1]結尾的最長遞

????????????????????????????? 增子序列的長度均已求出，再通過第8行的循環，即求出了整個數組的最長遞增子序列。

????????? 仔細分析上面的代碼可以發現，每次循環結束后，假設已經求出c[1],c[2],c[3],...,c[len]的值，則此時最長遞增子序列的長度為len,因此可以把上面的代碼更加簡化，即可以不需要數組b來輔助存儲，第8行的循環也可以省略。
????

#include <iostream>

using namespace std;

int find(int *a,int len,int n)//修改后的二分查找，若返回值為x，則a[x]>=n

{

?????? int left=0,right=len,mid=(left+right)/2;

?????? while(left<=right)

?????? {

????????????? if(n>a[mid]) left=mid+1;

????????????? else if(n<a[mid]) right=mid-1;

????????????? else return mid;

????????????? mid=(left+right)/2;

?????? }

?????? return left;

}

int main()

{

?????? int n,a[100],c[100],i,j,len;// 新開一變量len,用來儲存每次循環結束后c中已經求出值的元素的最大下標

?????? while(cin>>n)

?????? {

????????????? for(i=0;i<n;i++)

???????????????????? cin>>a[i];

????????????? b[0]=1;

????????????? c[0]=-1;

????????????? c[1]=a[0];

????????????? len=1;// 此時只有c[1]求出來，最長遞增子序列的長度為1.

????????????? for(i=1;i<n;i++)

????????????? {

???????????????????? j=find(c,len,a[i]);

???????????????????? c[j]=a[i];

???????????????????? if(j>len)// 要更新len,另外補充一點：由二分查找可知j只可能比len大1

??????????????????????????? len=j;// 更新len

????????????? }

????????????? cout<<len<<endl;

?????? }

?????? return 0;

}

［zz］最長遞增子序列的求法　LIS